Расчет простых цепей переменного тока символическим методом

Расчет простых цепей переменного тока символическим методом

Задание: для электрической цепи переменного тока, соответствующей номеру варианта, с параметрами, приведенными в табл. 6.1, выполнить следующее:

1. Вычертить заданную цепь, выписать заданные величины э.д.с. и сопротивлений;

2. Построить схему замещения заданной цепи и определить полные комплексные сопротивления ветвей электрической цепи;

3. Произвести расчет всех комплексных токов и напряжений на участках цепи символическим методом;

4. Рассчитать сопряжённые комплексы токов;

5. Вычислить комплексы мощности источника и приёмников; произвести проверку правильности расчета токов путем составления уравнения баланса мощностей цепи;

6. Записать мгновенные значения токов и напряжений на участках цепи;

7. Построить векторную диаграмму токов и напряжений в комплексной плоскости.

Варианты задания и параметры элементов схем

Читайте также:

  1. A. Расчетная часть
  2. Cведения из теории цепей переменного тока.
  3. I задание. (Закончите предложение).
  4. I. Способы представления переменного синусоидального тока и напряжения.
  5. II. Индукция методом исключения
  6. III задание. (Закончите предложение).
  7. III задание. (Закончите предложения).
  8. III. Классификация электрических цепей.
  9. IX. Обеспечение своевременных расчетов по полученным кредитам.
  10. Ordm;. Задание движения в полярных координатах.
Вари-ант Схема (рис.)ис.) Сопротивления элементов схемы, Ом Параметры источника
R1 X1 R2 X2 R3 X3 R4 X4 R5 X5 U, В ψu, град
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
6.22
6.23
6.24
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6.25
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
6.22
6.23
6.24
6.25

Варианты схем для выполнения задания

Рис. 6.11 Рис. 6.12

Рис. 6.13 Рис. 6.14

Рис. 6.15 Рис. 6.16

Рис. 6.17 Рис. 6.18

Рис. 6.19 Рис. 6.20

Рис. 6.21 Рис. 6.22

Рис. 6.23 Рис. 6.24

Пример расчета простой цепи переменного тока символическим методом.

1. Пусть задана схема, изображенная на рис. 6.26, с параметрами: R1 = 5 Ом; R2 = 10 Ом; R3 = 4 Ом; R4 = 8 Ом; R5 = 6 Ом; X1 = 8 Ом; X2 = 6 Ом; X3 = 10 Ом; X4 = 10 Ом; X5 = 5 Ом; параметры источника: U = 220 B, ψu = 45 0 .

Рис. 6.26. Исходная цепь для расчета

2. Строим схему замещения (рис. 6.27) и определяем комплексные сопротивления ветвей и комплекс входного напряжения. На схеме замещения обозначим условные положительные направления токов в ветвях.

Рис. 6.27. Схема замещения исходной цепи

Полные комплексные сопротивления ветвей схемы замещения:

– сопротивление имеет активно-индуктивный (R-L) характер;

– сопротивление имеет активно-емкостный (R-C) характер;

– сопротивление имеет активно-индуктивный (R-L) характер;

– сопротивление имеет активно-емкостный (R-C) характер;

– сопротивление имеет активно-емкостный (R-C) характер.

Комплекс входного напряжения:

, В.

3. Произведем расчет комплексных токов и напряжений на всех участках цепи символическим методом. Для этого найдем комплекс эквивалентного сопротивления всей цепи (т.е. приведем ее к виду, представленному на рис. 6.28).

Рис. 6.28. Схема с эквивалентным сопротивлением

Определим эквивалентные сопротивления (сначала отдельных участков схемы замещения, а затем эквивалентное сопротивление всей цепи):

;

;

;

.

Комплексы токов в ветвях можно найти как:

Комплексы напряжений на участках цепи:

4. Найдем сопряженные комплексы токов:

5. Вычислим комплексы мощностей источника и приемников. Составим уравнение баланса мощностей и убедимся в правильности произведенных расчетов.

,

Баланс мощностей сошелся, погрешность не превышает допустимую величину в 5%.

6. Мгновенные значения токов и напряжений на участках цепи, в общем виде, выражаются как

, ,

где: – амплитудное значение тока;

– амплитудное значение напряжения.

– начальная фаза тока;

– начальная фаза напряжения.

Найдем мгновенные значения токов ветвей:

,

а также мгновенные значения напряжений на участках цепи:

7. Строим векторную диаграмму токов и напряжений в комплексной плоскости (рис. 6.29).

Рис. 6.29. Векторная диаграмма токов и напряжений

Дата добавления: 2015-04-16 ; просмотров: 94 ; Нарушение авторских прав

Многие понятия, необходимые для расчёта цепей символическим методом, уже рассмотрены выше. Все законы расчёта цепей постоянного тока (законы Кирхгофа, методы контурных токов и узловых напряжений и т. д.) применимы в цепях переменного тока для мгновенных значений.

Читайте также:  Провод резиновый многожильный цена

При действии в цепи источников энергии одной частоты, мгновенные значения токов, напряжений и мощностей можно заменить комплексами.

Необходимо уточнить ещё некоторые моменты, связанные с источниками энергии и направлениями токов и напряжений. На приведенных выше рисунках стрелками были показаны направления токов и напряжений. Однако что понимать под направлением переменного тока, направление которого периодически меняется, а среднее значение равно нулю?

Изменение направления тока (напряжения) равно-сильно повороту его фазы ψ на угол π (180 0 ).

sin (ψ± π) = — sin ψ

В комплексной форме: e j 180 = — e j 0 = — 1

То же касается источников ЭДС и тока. Например, пары источников ЭДС на рисунке 2.42 слева и справа идентичны.

Ė = Ee j0
Ė = Ee j30
Ė = Ee j210 = Ee -j150
Ė = Ee j180
Рисунок 2.42 — Направление источников ЭДС синусоидального тока. Источники слева и справа идентичны

Баланс мощностей в цепях переменного тока должен выполняться для всех её составляющих: для полной, активной и реактивной мощностей.

ΣSпр = ΣI 2 X

Для источников ЭДС: ΣSист= Σ Ė

Замечание для проверки правильности расчётов: все активные составляющие (R, G, P) должны быть положительны. Сдвиг фаз: -90 0 0 .

Примеры расчёта цепей переменного тока

Расчёт схем синусоидального тока не столько сложен для понимания, сколько трудоёмок. Рассмотрим сначала простой пример.

Задание 1.

U. В 12 6 0 -6
3 6 9 12 t. мс

Рисунок 2.43 – Синусоидальный сигнал

Пусть задан синусоидальный сигнал напряжения, изображённый на рисунке 2.43.

Для изображённого сигнала определить:

Амплитуда сигнала – максимальное отклонение от нуля – в данном случае Um=12 В.

Несмотря на то, что это очевидно, студенты иногда отвечают, что амплитуда равна 24 В. На самом деле – 24В – это называется размах – разница между максимальным и минимальным значением сигнала.

2) действующее значение;

Для синусоидального сигнала действующее значе-ние меньше амплитуды в √2 раз, то есть:

По графику видно – период составляет T=20 мс.

5) угловую частоту;

ω=2πf = 2∙3,14∙50= 314 с -1 .

6) начальную фазу;

Считаем, что закон изменения напряжения – синус (а не косинус). При начальной фазе сигнала, равной нулю, в точке t=0, синус равен нулю и возрастает, то есть соответствует на данном графике точке t = 9 мс. Относительно этой точки сигнал задержан на половину периода, то есть 180 0 . Таким образом,

(или +180 0 , что то же самое).

7) Записать мгновенное значение напряжения;

8) Записать комплекс для действующего значения напряжения;

Как было сказано выше, обычно для расчётов используют не амплитудные, а действующие значения.

(или )

Чтобы не усложнять запись значок градусов можно не писать – просто 180.

Задание 2.

Задана схема (рисунок 2.44) и её параметры.

R
C
R= 200 Ом С= 8 мкФ f = 200 Гц Ė = 20 e j 30 В
E
Рисунок 2.44 – пример схемы RC для расчёта

Рассчитаем различные возможные параметры цепи.

2.Модуль полного сопротивления цепи:

3.Угол сдвига фаз

В электронике обычно угол не обозначают в ради-анах – чаще в градусах. Обратите внимание – реактивное сопротивления для конденсатора отрицательно, угол, естественно – тоже.

4. То же можно записать символическим методом – через комплексы, используя те же формулы:

Для дальнейшего сложения/вычитания нужно значе-ние в алгебраической форме, для умножения/деления – в показательной.

Перевод из одной формы в другую, требующий вычисления корня из суммы квадратов и арктангенса – процесс, занимающий определённое время. Очень удобно в этом случае пользоваться инженерным калькулятором, позволяющим преобразовывать декартовы координаты в полярные и наоборот. Это значительно экономит время.

5. Треугольник сопротивлений для данной схемы в примерном масштабе показан на рисунке 2.45.

Читайте также:  Простой браслет из резинок на станке
Х= -XС= -100
φ= -26,6 0
R=200
Z=223,6
Рисунок 2.45 – Треугольник сопротивлений при последовательном соединении R и С

6.Определим ток в цепи.

Используем символический метод – это проще.

Закон Ома в комплексной форме: Ú = İ Z

В данном случае – вместо комплекса напряжения запишем комплекс ЭДС, указанный в условии задачи.

Действующее значение тока: I = 89,4 мА.

Начальная фаза тока: ψi = 56,6 0

Амплитудное значение тока:

7. Запишем формулу мгновенного значения тока:

i(t) = Im sin (ωt + ψi)= 89,4 sin (314t + 56,6 0 ) мА

8. Определим напряжение на резисторе.

Это несложно. Так как на активном сопротивлении ток всегда совпадает по фазе с напряжением, то нужно просто ток умножить на R.

Действующее значение: UR=I∙ R= 0,0894∙200=17,88 В

Амплитудное значение: U mR=I m∙ R= 0,1265∙200 В

Формула мгновенного значения:

9. Определим напряжение на конденсаторе.

– Этот момент часто неясен студентам, хотя это следует непосредственно из правил действий с комплексными числами – перевод из одной формы записи в другую.

Начальная фаза напряжения на конденсаторе:

10. Построим векторную диаграмму напряжений и тока в цепи (рисунок 2.46).

На активном сопротивлении (резисторе) ток всегда совпадает с напряжением. На конденсаторе угол между током и напряжением всегда составляет 90 0 (ток опережает напряжение).

Оцените точность рисунка – сравните углы тока и каждого напряжения с рассчитанными значениями в градусах.

UC
φ
UR
Е
Рисунок 2.46 — Векторные диаграммы напряжений и тока
I

11. Рассчитаем мощности элементов цепи.

P = I 2 R = 0,0894 2 ∙200 = 1,6 Вт.

Реактивная мощность (в данном случае– ёмкостная):

Q = I 2 ХС = 0,0894 2 ∙100 = 0,8 ВАР.

Другой вариант расчёта – через мощность ЭДС – произведение комплекса ЭДС на комплексно-сопряжённый ток:

P = S cosφ = 1,79 cos(-26,6 0 ) = 1,79∙0,894 = 1,6 Вт

Q = S sinφ = 1,79 sin(-26,6 0 ) = -1,79∙0,448 = — 0,8 ВАР

Это, естественно, совпадает с предыдущим результатом.

Методические указания

К контрольной работе

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Символический метод операций с векторными величинами основывается на весьма простой идее: каждый вектор раскладывают на две составляющие: одну — горизонтальную, идущую по оси абсцисс, а вторую — вертикальную, идущую по оси ординат. В этом случае все горизонтальные составляющие идут по одной прямой, и их можно складывать с помощью простого алгебраического сложения, аналогичным образом складывают и вертикальные составляющие.

При таком подходе в общем случае получаются две результирующие составляющие — горизонтальная и вертикальная, которые всегда находятся друг к другу под одним и тем же углом, равным 90°.

По этим составляющим можно найти их равнодействующую, т. е. произвести их геометрическое сложение. Составляющие под прямым углом представляют катеты прямоугольного треугольника, а их геометрическая сумма — гипотенузу.

Можно также сказать, что геометрическая сумма численно равна диагонали параллелограмма, построенного на составляющих, как на его сторонах . Если горизонтальную составляющую обозначить АГ а вертикальную — АВ, то геометрическая сумма (1)

Находить геометрическую сумму прямоугольных треугольников гораздо легче, чем косоугольных. Легко видеть, что (2)

превращается в (1) если угол между составляющими составляет 90°. Поскольку cos 90 = 0, последний член в подкоренном выражении (2) исчезает, вследствие чего выражение резко упрощается. Обратим внимание на то, что перед словом "сумма" обязательно следует добавлять одно из трех слов: "арифметическая", "алгебраическая", "геометрическая".

Слово "сумма" без указания, какая именно, приводит к неопределенности, а в ряде случаев и к грубым ошибкам.

Читайте также:  Как сделать полы из лиственницы

Напомним, что результирующий вектор равен арифметической сумме векторов в том случае, когда все векторы идут по одной прямой (или параллельно друг другу) в одинаковом направлении. При этом все векторы имеют знак плюс (рис. 1, а).

Если векторы идут по одной прямой, но направлены в противоположные стороны, то их равнодействующая равна алгебраической сумме векторов, в этом случае одни члены имеют знак плюс, а другие минус.

Например, в схеме рис. 1, б U6 = U4 — U5. Можно также сказать, что арифметическую сумму используют в тех случаях, когда угол между векторами равен нулю, алгебраическую, когда углы составляют 0 и 180°. Во всех остальных случаях сложение производят векторно, т. е. определяют геометрическую сумму (рис. 1, в).

Пример . Определить параметры эквивалентной синусоиды для цепи рис. 2, а символическим методом.

Решение. Нарисуем векторы Um1 Um2 и разложим их на составляющие. Из чертежа видно, что каждая горизонтальная составляющая представляет значение вектора, умноженное на косинус фазного угла, а вертикальная — значение вектора, умноженное на синус фазного угла. В данном случае

Очевидно, что общие горизонтальные и вертикальная составляющие равны алгебраическим суммам соответствующих составляющих. В данном случае

Получившиеся составляющие покажем на рис. 2, б. Определим значение Um для этого вычислим геометрическую сумму обеих составляющих:

Определим эквивалентный фазный угол ψэк. Из рис. 2,б видно, что отношение вертикальной составляющей к горизонтальной представляет тангенс эквивалентного фазного угла.

Таким образом, результирующая синусоида имеет амплитуду 22,4 В, начальную фазу 33,5° с таким же периодом, который имели составляющие. Заметим, что складывать можно только синусоиды с одинаковыми частотами поскольку при сложении синусоидальных кривых с различными частотами, результирующая кривая перестает быть синусоидальной и все понятия, приложимые только к гармоническим сигналам, становятся в этом случае неправомерными.

Проследим еще раз всю цепочку преобразований, которые приходится проделывать с математическими описаниями сигналов гармонической формы при выполнении различных расчетов.

Сначала временные функции заменяют векторными изображениями, затем каждый вектор раскладывают на две взаимно перпендикулярные составляющие, после чего просчитывают отдельно горизонтальные и вертикальные составляющие и, наконец, определяют значения результирующего вектора и его начальной фазы.

Такой путь расчета избавляет от необходимости графически складывать (а в ряде случаев делать и более сложные операции, например, перемножать делить, извлекать корни и т. д.) синусоидальные кривые и прибегать к расчетам с помощью формул косоугольных треугольников.

Однако рассчитывать отдельно горизонтальные и вертикальные составляющие операции достаточно громоздкие. При подобных расчетах очень удобным является такой математический аппарат, с помощью которого можно просчитать сразу обе составляющие.

Уже в конце прошлого века был разработан метод, позволяющий одновременно производить расчеты над числами, отложенными на взаимно перпендикулярных осях. Числа, откладываемые по горизонтальной оси, назвали вещественными, а по вертикальной оси — мнимыми. При расчетах этих чисел к вещественным добавляют множитель ± 1, а к мнимым — ±j (читается "жи"). Числа, состоящие из вещественной и мнимой частей, назвали комплексными, а метод расчетов, выполняемых с их помощью — символическим .

Поясним термин "символический". Те функции, которые подлежат расчету (в данном случае гармонические), являются оригиналами, а те выражения, которыми заменяют оригиналы — изображениями или символами.

При использовании символического метода все расчеты производят не над самими оригиналами, а над их символами (изображениями), которые в нашем случае представляют соответствующие комплексные числа, поскольку производить операции над изображениями значительно легче, чем над самими оригиналами.

По окончании всех операций над изображениями по результирующему изображению записывают оригинал, соответствующий получившемуся изображению. Символическим методом производят подавляющее большинство расчетов в электрических цепях.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector