Является ли физика естественной дисциплиной а математика

Является ли физика естественной дисциплиной а математика

Роль математики в физике сложно переоценить. Известна цитата Галилео Галилея «Математика — это язык, на котором написана книга Природы». Но только ли языком является современная математика? Работа математиков заключается в нахождении новых математических объектов и исследовании их свойств и взаимосвязей. Со времен Галилея появилось множество новых разделов математики со своим языком для описания математических объектов.

Возьмем известный всем математический объект — функцию. В школьной программе ее вводят в виде ( displaystyle y=f(x)) и подразумевают задание какой-то зависимости переменной y от переменной x.


Однако с точки зрения теории множеств, функция — это отображение одного множества в другое:


А с помощью абстрактной алгебры функцию можно представить в виде оператора, а набор значений x и y считать векторами. В данном описании задание функции эквивалентно заданию матрицы оператора ( displaystyle hat ).
( displaystyle Y=hat
X )

А в теории возмущений, функции привычнее задавать в виде бесконечного ряда. Причем для разных областей определения функции конкретный вид ряда может отличаться.

То есть функция существует как некий абстрактный математический объект, который можно «увидеть» с помощью разных математических методов. Данные рассуждения можно отнести практически к любому математическому объекту. Вектор, например, можно задать абстрактным символом ( displaystyle overline ) или конкретным координатным представлением ( displaystyle (v_,v_,v_) ). Причем численные значения этих координат будут зависеть от выбранной системы координат и базиса.

Так существуют ли математические объекты, которых миллионы (или бесконечность?), как некие абстрактные сущности вне времени и пространства и которые в какой-то момент были просто открыты математиками и не зависят от конкретных способов описания/исследования? Или же все это изобретения человеческого ума?

Данный вопрос обсуждается еще со времен античных философов. Одни считают, что математические объекты существуют в «Платоновском мире идей» независимо от нас. Роджер Пенроуз — яркий представитель данного направления.

Вроде бы логично. Многие математические объекты были открыты независимо разными людьми и даже разными цивилизациями. Теорема Пифагора и другие аспекты Евклидовой геометрии или некоторые факты из теории чисел были известны всем древним культурам. Теорема Пифагора или натуральные числа в этом смысле существовали всегда в Платоновском мире. Позднее были открыты отрицательные числа, действительные числа, комплексные числа, кватернионы. Открываемые математические объекты становятся все более абстрактными: Грассмановы числа, группы, кольца, поля, расслоения… Но все они подчиняются тем или иным правилам, которые выполнялись всегда и будут выполняться всегда. Мало кто сомневается, что теорема Пифагора работала даже до формирования Земли и зарождения жизни. Евклидово пространство как математическая структура, таким образом, занимает свой уголок в Платоновском мире.

Однако существует противоположная точка зрения которую разделяют даже некоторые топовые математики, например, Майкл Атья.

Идея такова — в корне всех математических открытий все равно лежат наблюдения, полученные нами через органы чувств. Майкл говорит, что если бы мы не видели вокруг себя дискретных вещей (были бы плазмоидной формой жизни на планете типа «газовый гигант»)), то даже понятие числа и арифметика не были бы изобретены. Что не означает отсутствие математики вообще, просто она была бы другая.
Действительно, откройте современную статью по абстрактной алгебре и вы не увидите ни одного числа. Без органов зрения и соответствующей эволюции мозга не было бы пространственного воображения и геометрии в том виде, как мы ее знаем. И так далее, то есть математика — это изобретение человечества. Из бесконечного набора гипотетических математических объектов выбираются лишь некоторые, которые наш ограниченный мозг может осознать, и следовательно они (хоть и не всегда очевидно) связаны с окружающей реальностью. Микеланджело говорил «Скульптура уже существует внутри куска мрамора. Я лишь отсекаю лишнее». Так и математические объекты скорее создаются математиками подобно скульптуре из океана бесконечных возможностей.

В рамках этой парадигмы Майкл отвечает и на известный вопрос физиков, сформулированный в известной статье Ю.Вигнера Необъяснимая эффективность математики в естественных науках. Почему в современной теоретической физике находят применение такие абстрактные математические объекты, которые казалось бы не имеют никакого отношения к реальности. Атья говорит — математика в конечном счете, как и физика, основана на наблюдениях окружающего мира. Ничего удивительного, что она отражает реальность.

Работа физика-теоретика заключается в построении математической модели, которая бы описывала наблюдаемые явления и желательно предсказывала бы существование новых. Все физические теории — это математические модели. Закон Ньютона выражается математически как ( displaystyle F=ma ). Это на самом деле пример модели, основанной на дифференциальном уравнении, поскольку ускорение есть вторая производная по времени. То есть в развернутом виде закон Ньютона выглядит как:

Для Ньютоновской механики необходимо дифференциальное исчисление. Для общей теории относительности Эйнштейна нужна уже неевклидова геометрия, точнее Риманова геометрия. Для квантовой механики абстрактная алгебра с Гильбертовыми пространствами и линейными операторами. Но в то же время нельзя оспорить, что математика имеет дело с куда большим диапазоном исследуемых абстрактных структур, чем физика. Математика ограничена лишь логикой. Она не ограничена, скажем, тремя пространственными измерениями или физическими принципами.


Куча теорем имеют только математическую ценность (пока?). Но часть из них служит основой физики. С этой точки зрения физика — всего лишь часть математики. Дополнительные физические принципы, не берущиеся обычно математиками в рассмотрение, жестко ограничивают выбор возможных математических структур для описания физических явлений. Современная физическая теория должна быть инвариантной относительно преобразований Лоренца и калибровочных преобразований, не противоречить постулатам квантовой механики и т.д. На самом деле это очень жесткие ограничения, но даже в рамках них существует множество пространства для маневров.

Крайняя точка зрения в этом направлении высказывается Максом Тегмарком — физического мира как такового не существует, мы находясь внутри математического мира и являясь его частью просто ощущаем его таковым. Задачей физики является нахождение «своих координат» в этом математическом мире, то есть поиск тех математических структур, которые позволяют развиться таким самоосознающим объектам типа нас с вами и наблюдаемой Вселенной с ее законами в целом.

Читайте также:  Интерьер комнаты отдыха в бане своими руками

Между тем, хотя физику и можно считать частью математики, она оказывает большое влияние на ход развития последней. Дифференциальное и интегральное исчисления были открыты Ньютоном в связи с задачами механики. И хотя обычно необходимая математика оказывается уже существующей к моменту становления новой физической теории (так было и с теорией относительности, и с квантовой механикой), современная физика оказывает влияние и на чистую математику.

Как только физика вышла за диапазоны величин непосредственно доступных органам чувств человека (скорости близкие к скорости света, атомарные расстояния и т.п.), оказалась востребована крайне абстрактная математика недоступная для визуализации нашим мозгом. Никто не может представить себе электрон, электромагнитную волну или четырехмерное пространство-время. Все что нам осталось — это исследовать описывающие их математические структуры. И чем детальнее описание, тем более абстрактные математические объекты возникают. И без подсказки Природы математики вряд ли додумались бы копать в сторону этих структур. Так появились квантовые группы, некоммутативная геометрия, твисторы и тому подобные вещи. Экспериментальная физика дает математике современную замену органам чувств.

Вопросы касательно объективного существования всегда уходят в сторону философии. Стоит ли отождествлять электрон с математической структурой для его описания? Единственно ли вообще математическое описание физического объекта или разные математические структуры могут описывать одну физику? Существует ли объективная реальность для любой математической структуры?
Девяносто девять процентов всех существовавших когда-либо на Земле биологических видов (по текущим оценкам 5 миллиардов) к настоящему моменту вымерли. Но они отличаются всего лишь структурой ДНК. В Платоновском мире это соседние области математического пространства. Существуют ли объективно эти вымершие или никогда не существовавшие в нашем мире животные в «параллельных вселенных»? Здесь опять прослеживается тесная связь с современной физикой. Многомировая интерпретация квантовой механики утверждает, что все возможные эволюционные траектории существуют объективно. Однако классическая, Копенгагенская интерпретация, говорит совсем противоположное — объективный мир вообще не существует. По крайней мере независимо от субъекта — наблюдателя.
Субъективна ли математика?

Математические открытия или изобретения? Связь математики с физикой. : 3 комментария

«Современная математика» и «современная физика» — звучит как-то стремно. Как будто подразумевается что в современной науке разорвана связь с реальностью. А вот еще стремная фраза «Современная физическая теория должна быть инвариантной относительно преобразований Лоренца и калибровочных преобразований, не противоречить постулатам квантовой механики и т.д.» Разве в науке должны быть авторитеты?

Так и есть. Теория не должна противоречить известным экспериментальным данным. На данный момент не обнаружено ни единого нарушения Лоренц-инвариантности или эксперимента, противоречащего постулатам КМ. Если хотите предложить новую теорию, она также должна обладать этими свойствами.

О взаимосвязи математики и физики написаны сотни статей и книг. Тем не менее остаются неясности. Ф. Дайсон, бесспорно, выдающийся физик, в своей статье "Математика и физика" пишет: "Оставив философию гигантам, таким как Бор или

Вигнер, мы займемся исследованием природы не слишком глубоко. Поэтому не будем говорить о том, по каким конечным причинам математические представления господствуют и торжествуют в физике. Обойдем философские доказательства, принимая на веру, что природу нужно исследовать на языке математики" [1] .

Многогранность науки

Корифеи науки оставляют основания связи математики и физики в тумане. Выражение Е. Вигнера "непостижимая эффективность математики" приводится в наши дни столь же часто, как и в 1960-х гг. Он закончил свою знаменитую статью знаменательными словами: "Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны" [2] .

По мнению автора, соотношение математики и физики достаточно простое, его понимание вполне доступно не только выдающимся, но и всем другим физикам. Для начала обратимся к концептуальному содержанию математики. Оно очень часто оценивается неверно. Прежде всего, отметим, что вопреки широко распространенному мнению существо математики определяют не абстракции и идеализации. Что такое, например, число 3?

Сторонник теории абстракций будет рассуждать следующим образом. Возьмите три объекта, абстрагируйтесь от всех их признаков, т.е. считайте их несущественными, оставьте лишь возможность счетной операции. Тройка – это три объекта, обедненные настолько, что к ним становится применимым понятие числа.

В принципиально другом стиле определяется понятие числа в теории множеств. Установите взаимно однозначное соответствие между рассматриваемыми объектами. Это соответствие выражается числами. Например, мы говорим "три яблока" и "три толстяка". Тройка означает, что между яблоками и толстяками имеет место однозначное соответствие. Они являются двумя эквивалентными сторонами одного и того же соотношения. Сторонник теории абстрактной природы математики возразит: "Вы не рассматриваете многие признаки объектов, следовательно, абстрагируетесь от них". Это "следовательно" неуместно. Надо понимать, что для установления отношения соответствия не требуется абстрагирование. Недопустимо абстрагироваться от того, без чего невозможно существование самого отношения соответствия.

Обратимся теперь к другой проблеме, а именно – об уместности реализма в математике. Первоначально математика была вплетена непосредственно в реальную жизнь людей. Превратившись в самостоятельную дисциплину, она вроде бы потеряла контакт с реальностью. Но это впечатление обманчиво. Действительно, периодически любые разделы математики "заземляются" на реальность. Подобно птице, всегда возвращающейся на землю, математика после каждого полета над реальностью неизменно возвращается к ней. Математика в принципе не могла бесповоротно оторваться от реальности, в противном случае она превратилась бы в фантастику. Окончательным доказательством соответствия математики реальности являются успехи ее использования в физике. Впрочем, связь математики с физикой осмысливается не без труда.

Читайте также:  Секреты приготовления мяса в духовке

Широко распространено мнение, что математика "сидит" внутри физики, составляя ее концептуальное ядро. Автор называет это воззрение концепцией математического преформизма. Математика признается преформой физики, ее зародышем, из которого вырастает взрослый организм. По мнению автора, математический преформизм несостоятелен. Лучшее доказательство тому – некомпетентность многих математиков в физике. Если бы математика была преформой физики, то любой математик был бы изначально и физиком. Но этого нет. Концепция математического преформизма представляется автору также сомнительной в силу определенной оценки всего процесса развития современных отраслей наук. Каждая из них неизбежно превращается в самостоятельное концептуальное образование, которое находится в определенных отношениях с другими отраслями наук. На это обстоятельство указывает само существование различных отраслей наук. Именно поэтому автор противопоставляет концепции математического преформизма концепцию экзогенной соотносительности математики другим наукам. Математика находится вне физики, но связана с нею связями, которые выявляются при моделировании.

Концепция экзогенной относительности математики органично сочетается с принципом рафинированности, согласно которому в каждой науке полностью отсутствуют концепты всех других наук. Так как в физике нет математики, то неправомерно считать, что она написана языком математики. Физика написана языком физики, а не математики.

Связь математики с физикой реализуется посредством моделирования. Физико-математическое моделирование производится в интересах физики, а математико-физическое – в интересах математики. Само моделирование состоит в установлении взаимно однозначного соответствия между концептами, с одной стороны, математики, с другой стороны, физики.

Но почему же такое соответствие существует? В силу природы математики. Она, как отмечалось выше, имеет своим предметом классы эквивалентностей различных образований. Например, математический анализ актуален не только для физики, но и для экономики. Почему? Потому, что в определенном отношении, которое выражается концептами математического анализа, в частности понятием предела, физика и экономика эквивалентны друг другу. В силу природы математики любая наука реализует свою модельную связь с ней.

Следующий момент касается многообразия физико-математических моделей. Почему они реализуются в самых различных формах? Почему для физики актуальны самые различные математические науки? И на этот вопрос есть вполне резонный ответ. Математические науки от элементарной арифметики и геометрии до алгебры, топологии и теории категорий образуют определенное единство. Поэтому неизбежно физико- математическое моделирование приобретает многочисленные формы. Любая оригинальная математическая теория возникает как развитие своей предшественницы. Если она фигурировала в физико-математическом моделировании, то почти наверняка и новая теория окажется вовлеченной в этот процесс моделирования.

Существо физики определяется ее оригинальными концептами. Они не могут быть подменены концептами ни логики, ни математики, ни информатики. К сожалению, это обстоятельство часто недопонимается. Когда физик сверх всякой меры превозносит математику, он начинает принижать значимость своей собственной науки. Ф. Дайсон утверждает, что "при всех изгибах и поворотах истории физики один фактор остается неизменным – решающее значение математического воображения.

Математика – это основной источник представлений и принципов, посредством которых создаются новые теории" [3] . Странная ситуация – выдающийся физик, один из создателей квантовой электродинамики, видит основной источник новых теорий не в излюбленной им науке, т.е. в физике, а в математике.

По мнению автора, Дайсон расставил акценты неправильно. Физика, что не раз подчеркивалось ранее, представляет собой чрезвычайно утонченное в концептуальном отношении мероприятие, насыщенное многочисленными проблемными аспектами. В своем стремлении преодолеть их физик создает новые теории. Истоки новых теорий содержатся в творческом поиске, направленном на преодоление существующих проблем. Творческий процесс физика включает физико-математическое моделирование. Математика нагружается физическим содержанием, она не заменяет собой физику, а идет в ее фарватере. Слава математикам, которые созданием новых математических теорий косвенным образом способствуют развитию физики. Но от этого они не становятся физиками.

  • 1. Математика и физика являются двумя различными отраслями науки.
  • 2. Математика не является языком физики.
  • 3. Развитию физики способствует физико-математическое моделирование.

Математика — не наука. Это язык науки. Сошлюсь только на одно высказывание, хотя их можно привести множество: Нильс Бор говорил, что математика — это нечто значительно большее, чем наука, поскольку она является языком науки. Лев Ландау относил ее даже к сверхъестественным наукам. А почему?

Выделим четыре признака науки.

Первый — наличие познаваемого объекта.
Второй — истинность суждений о нем, проверяемая опытом.
Третий — всеобщность (универсальность) и обязательность установленных закономерностей.
Четвертый — системность, последовательность вытекающих друг из друга понятий.

Только одновременная реализация всех этих признаков и определяет научность известного результата познания.

Слово «математика» — от греческого mathema — «наука». Однако рассмотрим математику с позиции четырех признаков науки.

Этот род человеческой деятельности не соответствует первому критерию — нет объекта исследования. Не соответствует и второму — ее выводы опытом не проверяются.

Математики при оценке своих работ полагаются на свой «вкус», говорят: «Красивое решение!» А это уже искусство.

Не поймите меня превратно. Я нисколько не принижаю значения математики как языка науки. Чем более наука формализована, тем она продуктивнее в эвристическом смысле.

Нет докторов и кандидатов математических наук — есть физико-математических. Объекты для ее приложений поставляют физика (как наиболее формализованная), геофизика, архитектура, некоторые разделы теоретической химии (например, квантовая, молекулярный дизайн), математические биология и экономика. В рамках уже этих наук работает и опыт как критерий истины.

Наименее формализованы большинство разделов химии, геология и практически все гуманитарные науки. Хотя и в них математические методы широко применяются: в лингвистическом анализе, социологии, демографии Например, математику принадлежит первое научное определение лингвистического понятия падежа как класса эквивалентных семантических состояний.

Огромен вклад математики в сращивание естественных наук с гуманитарными путем использования в них дедуктивных методов и математического моделирования с применением многих разделов математики — от элементарной алгебры до топологии.

Читайте также:  Сварочные провода для инвертора цена

Открыты и неформализованные естественные законы (Периодический закон в виде таблицы, 230 групп симметрии кристаллов в виде пространственных моделей, закон гомологических рядов в наследственной изменчивости организмов Н. И. Вавилова). В их основе лежат фундаментальные свойства материи — в Периодической системе это заряд ядра атома. Для сложных систем законов, не имеющих математического выражения, должно быть существенно больше.

Наука начинается там, где появляется измерение. Но не надо путать измерение и математику. Математика — это строгий язык, но общаться можно и нестрогими языками жестов, образов (живопись, музыка). В любых картах — географических, геологических и прочих — минимум математики и максимум свернутой информации в виде образов.

Так что учите языки, в том числе и математический.

Личное жизненное наблюдение: специалисты, владеющие математикой, легко самостоятельно изучают иностранные языки.

Проголосовали 29 человек

22
2
5

Комментарии (29):

Войти через социальные сети:

Спасибо за статью. Всю жизнь учу и повторяю языкы наук, и все больше и больше восхищаюсь человеческим мозгом, придумавшим и познающим их.

Оценка статьи: 5

Вячеслав Озеров, спасибо, я сам учусь уже 40 лет после университета.

Автор не утруждает себя определениями. Прежде чем о чем -то рассуждать, нужно знать, что обсуждать.
Что такое наука? Что такое математика?
Математика наука наук, или -служанка наук?

Весь перечень наук делится на три вида — математические науки, гуманитарные науки и естественные науки, или по Ландау сверхестественные науки, неестественные науки и естественные науки. Т.е. математические науки — сверхестественные науки. А математические науки — алгебра, геометрия, тригонометрия, стериометрия, геометрия Лобачевского, анализ и т.д.

Если объектом изучения естественных наук — физики, химии, биологии и т.д является окружающая нас действительность и мы сами, то математические науки изучают сами себя. И естественные и гуманитарные науки для изученя окружающего мира используют математические науки. Значит математика наука наук.

Николай Евгеньевич, я всё-таки с вами не соглашусь.
Давайте рассмотрим по вашим пунктам.
Первый – наличие познаваемого объекта
У математики множество объектов. Отличие математики от прочих наук в том, что она сама себе конструирует объекты изучения. Причём изначально математика брала себе объекты из реальности. Например, торговля, обмен, учёт требуют проведения счётных операций. Но уже тогда люди обнаружили, что независимо от того, что считать, правила счёта одинаковы, что позволило создать арифметику, в которой считают не яблоки и груши, а абстрактные единицы.
Кстати, химия в этом отчасти напоминает математику. Ведь химики не только ищут и исследуют готовые вещества в природе, но активно синтезируют новые соединения, которых в природе нет. Насколько активно, можно судить по справочнику Бейльштейна: в первом издании 1881-го года там было всего 1500 соединенй, а сейчас их более 10 млн., а это только органическая химия. Химики и математики сами конструируют объекты своих исследований. Только химикам приходится пользоваться данным природой набором элементом и заданными природой же "правилами игры", которыми и обуславливается направление химических реакций и возможность существования тех или иных соединений, а математики "правила игры" задают сами, задавая системы аксиом.

Второй – истинность суждений о нем, проверяемая опытом.
Если опыт понимать узко, только как научный эксперимент, то тогда научность многих наук окажется под сомнением. А математика находит опытное подтверждение ежедневно. Арифметика-то уж точно. Или вот более сложный пример. Художник, рисующий пейзаж или натюрморт с натуры, сознательно или бессознательно пользуется строгими законами математики, а именно, законами проекции объёмных предметов на плоскость. Ели он их не нарушает, то получается реалистичное изображение, а если неправильно, то тоже что-то получается, но уже не похожее на оригинал.
Если под опытом понимать не только научный эксперимент в лаборатории, а совокупный опыт человечества, то тут математика многажды опытно доказала истинность своих суждений.

Третий – всеобщность (универсальность) и обязательность установленных закономерностей.
Математика универсальна. Я бы сказал, что она идеально универсальна, а её законы обязательны для всех. Вот вы взяли в магазине товара на 88 рублей, на кассе дали сотню, а кассирша даёт вам сдачи 10. Вы же не скажете, что так и должно быть. Вы же скажете: "А где ещё два рубля?" Если инженер-конструктор при создании чертежей нарушит законы математики, то по его чертежам не соберут то, что он задумывал. Если химик ошибётся с коэффициентами в уравнении реакции и по нему рассчитает, сколько ему реагентов взять и сколько продукта получится, то он не получит ожидаемое количество продукта, о чём ему совершенно беспристрастно скажут весы.

Четвертый – системность, последовательность вытекающих друг из друга понятий.
Тут уж с математикой ничто не сравнится. Какую бы мы геометрию не взяли: Евклидову, Римана или Лобачевского, то все суждения в них вытекают из системы аксиом,которые определены абсолютно строго.

Математики при оценке своих работ полагаются на свой «вкус», говорят: «Красивое решение!» А это уже искусство.
Я с вас улыбаюсь. Всё-таки на первое место ставится правильность решения задачи, а если решение ещё и красиво, т.е. компактно, то это только плюс, но не красивость имеет решающее значение. Авиаконструктор Туполев любил говорить: "Некрасивые самолёты не летают", но так уж получилось, что самолёты, идеально соответствующие законам аэродинамики имеют красивую форму. Иван Ефремов в романе "Лезвие бритвы" устами одного из героев даёт такое определение красоты: "Красота — это наивысшая степень целесообразности, степень гармонического соответствия и сочетания противоречивых элементов во всяком устройстве, во всякой вещи, всяком организме". Мне оно нравится. Так что критерий красивости не такой уж и субъективный.

Евгений Антонов, отлично. Практически статья!

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector